123456789 a 987654321 jsou pěkná čísla svojí posloupností číslic. Nicméně jejich podíl je 8.00000007, což je zajímavé, neboť pravděpodobnost, že podíl dvou čísel bude mít za desetinnou čárkou sedm nul, je 10^{-7}.
Že to není náhoda, vysvětluje slovenský fyzik z matfyzu, který momentálně působé na Hardvardově univerzitě Luboš Motl.
987654321/123456789 is the same thing as (999999999-012345678)/123456789. The advantage of writing 987654321 as a difference is that the remaining numbers that occur in the expression can be written as "almost infinite" sums. First, rewrite the latest ratio as (9.99999999-0.12345678)/1.23456789, by canceling the factors 0f 10^8. Now, all the numbers can be approximated, once you realize that the following Taylor expansion identity holds:
1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ... = (1-x)-2
You can prove it by differentiating a more well-known "geometric series" identity with the 1,1,1,1... instead of 1,2,3,4... prefactors and the power "-1" instead of "-2".
We therefore have
(9.99999999-0.12345678)/1.23456789 ≈
≈ (10 - 0.1 (1-0.1)-2) / (1-0.1)-2 =
= (10 - 0.1 x 0.9-2) / 0.9-2 =
= (100 x 0.92 - 1) / 10 =
= (81 - 1) / 10 = 8
No comments:
Post a Comment